Algebra by Prof. Dr. Ernst Kunz (auth.)

By Prof. Dr. Ernst Kunz (auth.)

Inhalt
Inhalt: Konstruktion mit Zirkel und Lineal - Auflösung algebraischer Gleichungen - Algebraische und transzendente Körpererweiterungen - Teilbarkeit in Ringen - Irreduzibilitätskriterien - Ideale und Restklassenringe - Fortsetzung der Körpertheorie - Separable und inseparable algebraische Körpererweiterungen - Normale und galoissche Körpererweiterungen - Der Hauptsatz der Galoistheorie - Gruppentheorie - Fortsetzung der Galoistheorie - Einheitswurzelkö rper (Kreisteilungskörper) - Endliche Körper (Galois-Felder) - Au flösung algebraischer Gleichungen durch Radikale.

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GRADFORMEL. Für jeden Zwischenkörper Z von LfK gilt [L : K) = [L : Z)· [Z : K) BEWEIS: Sei zunächst [L : Z) =: r < oo und [Z : K) =: s < oo. {Wt, ... , Wr} sei eine Basis von L als Z-Vektorraum und {vt, ... ,v8 } eine Basis von Z als K -Vektorraum. X; ist von der Form Man erhält y= I: KjjVjWi i=l, ... ,r j=I, ... ,s Somit ist {VjWi I 1 ~ i ~ r, 1 ~ j ~ s} ein Erzeugendensystem von L als K -Vektorraum. Das System ist aber auch linear unabhängig, denn aus I: QjjVjWi = i,j 8 folgt zunächst I: a ij vi j=l 0 = 0 ( i = 1, ...

Durch h wird ein Ringhomomorphismus h: RN -+ S gegeben und offensichtlich ist j = h o i. ) = j(s)- 1 gelten. 33 erfüllt, und die Existenz des Quotientenrings ist bewiesen. Unter RN kann man sich immer den gerade konstruierten Ring vorstellen. REGEL: Kern(i) = {r ER I sEN 3 sr = 0} BEWEIS: Es gilt i(r) = f = 0 = ~ nach der Gleichheitsdefinition der Brüche genau dann, wenn ein s E N existiert mit s(r · 1-0 ·1) = 0, also sr = 0. Insbesondere ist i genau dann injektiv, wenn N keine Nullteiler von R enthält.

1V werden wir auch noch einen anderen Beweis kennenlernen. , p. b) Ist p ein Primelement und s "" p, so ist auch s ein Primelement. , q. •. ·an (a; ER, i = 1, ... , n), so gibt es ein i E {1, ... , n} mit pla;. 18 durch Induktion nach n. Wir zeigen nun, daß die Zerlegung eines Elements in Primelemente, wenn eme solche existiert, im wesentlichen eindeutig ist: Seien r, s E R Elemente, die sich als Produkte von Primelementen schreiben lassen: r =Pt· ... · Pm, s = q1 · ... · qn mit Primelementen p;(i = 1, ...

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